Çağlar boyunca matematiğin kesinlik, tutarlılık, tamlık gibi ideal beklentileri eksiksizce karşılayan bir bilim olduğu düşünüldü. kesinlik, tutarlılık, tamlık gibi niteliklerin matematiğe yüklenmesinin en önemli nedeni, matematiğin aksiyomlardan türetilen doğru önermelerinin kesin olarak kanıtlanabilir olmasıydı. matematiğin önermelerinin doğru iseler, doğrulukları kesinlikle kanıtlanabilen, doğru değilseler de, yine doğru olmadıkları kesin olarak kanıtlanabilen önermeler oldukları, dolayısıyla matematikte kesinlik ve tutarlılığın tam olarak egemen olduğu kabul edilmişti.

Ben de bu çalışmayla 19. yy sonunda ve 20. yy başında matematiğe farklı bakış açıları ile başka bir boyut kazandıran ve ortaya koydukları çalışmalar sonucunda matematiksel evrende bulunduğumuz noktayı belirlemeye çalışan dört büyük matematikçiyi ele almaya çalışacağım…

Bu çalışmada bu matematikçilerin kesinlik tamlık tutarlılık gibi nitelikleri nasıl sorguladıklarına tanıklık edeceğiz.

Bu yüzyıldaki asıl sorun ise matematiğin nasıl yapılması gerektiği , matematikte geçerli ispatın ne olduğu , matematiğin temelleri , neyin doğru olup olmadığı konuları üzerinde bir türlü bitmek tükenmek bilmeyen tartışmaların yaşanmasıdır.Öyle ki bu dönemin önemli isimlerinden bazıları son nefeslerini akıl hastanesinde verirler.

Cantor’un küme kuramıyla başlayan , Bertrand Russell’ın paradokslarıyla alevlenen krizi , David Hilbert biçimsel aksiyomatik bir sistem oluşturup ortadan kaldırabileceği düşüncesindeydi. David Hilbert’in bu düşüncesinin asla gerçekleşemeyeceği ise 1931 yılında Kurt Gödel’in yaptığı çalışmaların meşhur bir sonucudur.

Evet Cantor ile başlayalım.

Matematik tarihinde önemli yeri bulunan ve küme kuramının kurucularından kabul edilen Cantor yaşadığı dönemde pek te kabul görmemiş.Cantor’un eski hocası olan Kronecker dönemin önemli matematikçilerindendir ve ağırlığını kullanarak Cantor’un fikirlerinin yayılmasına engel olmuştur.Dahası yine dönemin ünlü isimlerinden Henri Poincare ,Cantor’un fikirlerini “matematiği istila eden korkunç bir hastalık” olarak nitelendirmiş , yine Leopold Kronecker ise Cantor’u şarlatanlıkla şuçlamıştır.Cantor ise hayatının sonuna kadar depresyon nöbetleri geçirmiş.Depresyon nöbetleri yaşamasının nedeni kısmen bu eleştirilere bağlansa da asıl sebep bipolar bozukluk denilen bir sinir hastalığıdır.

Cantorun çalışmaları çok etkili olup 20. yy matematiğinin diğer soyut alanlarına zemin açtı.Günümüzde Cantor’un fikirleri matematikçilerin büyük çoğunluğu tarafından doğru kabul edilmektedir. David Hilbert’te “Cantorun yarattığı cennetten bizi kimse kovamayacaktır.” diyerek çalışmaların önemini bir kere daha vurgulamıştır.Asıl üzücü olan ise Cantor’un yaşadığı dönemde iyi bir mevki elde edememesi ve hayatını ikinci sınıf bir enstitüde geçirmiş olması.

Şimdi Cantor’un böyle aşırı tepkiler almasına yol açan çalışmasından bahsedelim.

Cantor sonsuzları hiyerarşik sıraya sokan bir çalışma yapmıştır.
Matematikte aklımıza gelen ilk sonsuz elemanlı küme doğal sayılar kümesi.Doğal sayılar kümesinin alt kümesi olan çift sayılar kümesi de sonsuz elemanlı bir kümedir.Ayrıca bu iki küme birbirleri ile eşlenebilirler.Örneğin; 1 ile 2 , 2 ile 4 , 3 ile 6 , 4 ile 8 ,…, gibi.Bunun anlamı şudur ; Doğal sayıların oluşturduğu kümeyle , alt kümesi olan çift sayılar kümesi eşit büyüklüktedir.Sonsuzluğun tanımı da bu örnekten yola çıkılarak şöyle veriliyor;
( Kendisinden farklı ) alt kümelerinden herhangi biri ile birebir eşlenebilen küme sonsuzdur yada sonsuz elemanlıdır.

Sezgilerimiz bize Rasyonel sayıların Doğal sayılardan çok olduğunu söyler.Çünkü herhangi iki doğal sayı arasında sonsuz tane rasyonel sayı vardır.Cantor ise rasyonel sayıların özel bir şekilde dizilerek doğal sayılarla eşlenebilir olduğunu gösterdi , yani rasyonel sayılar kümesinin büyüklüğü doğal sayılar kümesinin büyüklüğüne eşitti. Cantor daha sonra reel sayıları ele aldı.Cantor’dan önce kimse reel sayılarla doğal sayılar arasında bu tarz bir eşleme yapamamıştır.Kimsenin böyle bir eşlemeyi yapamaması onun olmadığı anlamına gelmez , eğer böyle bir eşleme yoksa bununda ispat edilmesi gerekir.Bu ispatta 1874 yılında Cantor tarafından yapılmış.Bu da reel sayılar kümesinin farklı bir sonsuz olduğunu düşündürmüş.

Cantorun bu şekilde başladığı hiyerarşide doğal sayılar ilk sonsuzluk reel sayılar ikinci sonsuzluk olarak yerini alıyor.Bu sonsuzluklar İbranice olan Alef ( ) harfi ile ifade edilir. Doğal sayılar 0 iken gerçel sayılar 1 dir. Burada akla gelen soru şudur: Sonsuz sayıda eleman içeren bir küme var mıdır ki eleman sayısı (kardinalitesi) 0 dan büyük 1 den küçük olsun.Cantor Süreklilik Hipoteziyle böyle bir kümenin varolmadığını söyler.Çok uğraşmasına rağmen bu hipotezi ispat edemez.Matematikçileri ortaya atıldığı günden bu yana uğraştıran bu hipotez , Hilbert’in 1900 yılında Paris’te düzenlenen Uluslararası Matematikçiler Sempozyumunda sunduğu meşhur 23 problemden 1. olarak tarihteki yerini almıştır.

Sorunun matematiksel olarak bir türlü çözülememesi , Gödel’in dikkatini çeker. Gödel gözünü küme kuramına ve aksiyomatik sisteme çevirir.Gödel süreklilik hipotezinin matematiksel olarak çürütülemeyeceğinin ispatını elde eder.Gödel’in 1947 yılında yazdığı ve 1963 yılında bazı eklemeler yapıp tekrar 1964 yılında basılan ” cantorun süreklilik hipotesi nedir ? “adlı makalesinde hipotez için 3 durumun söz konusu olduğunu söyler, hipotez doğrulanabilir , çürütülebilir veya karar verilemezdir der. Gödel hipotezin matematiksel olarak karar verilemez olduğunu öngörür.Gödel’in 1963 yılında ifade ettiği bu karar verilememezlik , makalesinin 1964 yılında yayınlanmasından önce doğrulanmıştır.1963 yılında Amerikalı matematikçi Paul Cohen hipotezin kanıtlanamayacağını göstermiştir.Sonuçta Cantor’un ortaya attığı süreklilik hipotezi ,bildiğimiz küme kuramı aksiyomlarıyla ne doğrulanabilir ne de yanlışlanabilir.

Bu noktadan sonra akıllara takılan soru ise şu ;Hipotezin karar verilemez oluşu,anlamsız olduğunu gösterir mi?
Gödel ise bu konuda şöyle düşünür ; mevcut aksiyomatik sistem içerisinde bir sorunun karar verilemez oluşu ,o sorunun sadece eldeki aksiyomatik sistemde anlamsız olduğu sonucunu verir denebilir ; fakat bu o sorunun mutlak anlamda anlamsız veya karar verilemez olduğunu göstermez der.Bir başka deyişle burada Gödel sorunun karar verilemez oluşunun eldeki sisteme göre değişen bir şey olduğuna dikkat çeker.

Şimdi bu yüzyılın en renkli karakterlerinden Bertrand Russell’a geçelim.Doksansekiz yıllık yaşamında bir çok alana el atmış.Felsefeyle uğraşmış,yazarlık ve eğitmenlik yapmış,edebiyat alanında nobel ödülü almış.Mantık ve matematik alanlarında da çığır açıcı çalışmalar gerçekleştirmiştir.

1900 yılında italyan matematikçi Peona matematiksel mantık üzerine düşünceleriyle Russell’ı bu alanda çalışmaya ikna etmiş ve Russell’da böylece, mantığı geliştirmeye ve matematiği de mantığa indirgemeye çalışmış.Russell ‘ın matematik hakkındaki görüşleri mantıkçı (”mantıklaştırıcı’) bir çizgi izler. Mantıkçılık matematiğin mantığa indirgenebileceği, bir başka deyişle, matematiğin mantıktan türetilebileceği görüşüdür.

Bertrand Russell 1901 de daha henüz 28 yaşındayken o günün matematiğinin çelişkilerden yoksun olmadığını ortaya koyduğu paradokslarla göstermiştir.Tahmin edileceği gibi o günün matematiğini ve matematikçilerini sarsmış ayrıca matematikçileri matematiğin temelleri üzerine daha derin düşünmeye zorlamış.

Russell paradokslarının ortaya çıkışı ise Frege için büyük hayal kırıklığı yaratmış.Modern mantığın kurucularından sayılan Alman matematikçi ve mantıkçı Frege 1893′te Aritmetiğin temelleri adlı ünlü eserinin ilk cildini yayınlamıştı.Bu eserinde Frege aritmetiği sağlam temellere dayanan bir kümeler kuramına dayandırmak istemiştir.1902 ‘de de yapıtının ikinci cildinin yazılması tamamlanmış ve baskıya verilesi aşamasına geçilmiş.Tam bu sırada, 54 yaşındaki Frege ,30 yaşındaki Russell’dan “sevgili meslektaş ” diye başlayan bir mektup alır.Bu mektupla Russell Aritmetiğin Temelleri’nin birinci cildini okuduğunu, çok yararlandığını,çok sevdiğini belirtir,Frege’yi göklere çıkartır,ikinci cildini dört gözle beklediğini söyler.Mektubun ortalarında da bulduğu paradoksu açıklar. Frege mektubu okuduğunda belki de hayatının en büyük düş kırıklığını yaşadı.Çok emek verdiği yapıtı ve yaşamını adadığı ,temelini kurduğunu sandığı matematik birden yok olup gitmişti.Kitapta temel değişiklikler yapması için çok geçtir.Bir son söz yazmakla yetinmek zorunda kalır.Frege Russell’ın mektubunu yanıtlamak için bir mektup yazar.ve mektuptaki bir kaç alıntı ;

” Sevgili Meslektaş,
16 haziran tarihli ilginç mektubunuz için çok teşekkür ederim.Benimle çoğu konuda aynı düşüncede olmanıza va çalışmamı ayrıntılarıyla tartışmak istemenize sevindim.
[...]

Bulduğunuz çelişki beni büyük şaşkınlığa -belki büyük üzüntüye demek daha doğru olur- uğrattı,çünkü aritmetik kuramını dayandırdığım temeli sarstı.
[...]

Her durumda buluşunuz çok önemli ileride mantıkta büyük ilerlemelere neden olabilir.
[...]

Kitabın ikinci cildi yakında çıkacak.kitabın sonunda bulduğunuz çelişkiden söz eden bir ek yazacağım elbet.Keşke doğru bakış açısına sahip olsaydım.”

Frege kitabının son sözünün başına da şöyle yazar :
“Bir bilim insanı için ,yapıtı biter bitmez temellerinin yıkılmasından daha korkunç bir şey düşünülemez.Yapıt tam baskıya hazırlanırken Bay Bertrand Russell’dan aldığım bir mektup beni işte bu duruma soktu.”

Küme kavramı yunanlılardan beri aşağı yukarı biliniyordu.Daha sonra Alman matematikçi Georg cantor küme kuramını matematiksel olarak ortaya attı.O zamanlar bir nesnenin küme olabilmesi için bir koşulların gerektiği daha bilinmiyordu.Akla gelebilecek tüm nesnelerin bir küme oluşturabileceği sanılıyor.Bu sıralarda küme gibi çok doğal bir kavramın bir gün matematiği çelişkiye düşürebileceği ise akıllara hiç gelmemişti.

Yıllar boyunca matematikçiler bir kümenin oluşması için kısıtlayıcı koşullara gerek görmediler.19.yüzyılın sonuna dek matematikçiler düşünebildikleri tüm nesne topluluğuna küme adını vermekten de çekinmediler.

Şimdi bizde kümeleri bu anlamda ele alalım.
Tüm kümelerin bir küme oluşturduğunu varsayalım.Bu kümeye X adını verelim
Eğer A bir kümeyse, A kümesinin belirli özelliğe sahip öğeleri de başka bir küme oluştururlar.yani A ‘nın bir alt kümesini oluşturular.[örneğin; N'nin çift olma özelliğini taşıyan elemanları 2N olarak simgelenen çift doğal sayılar kümesini oluştururlar.]
Şimdi X kümesinin “kendini içermeyez” özelliğini taşıyan öğelerinden oluşan altkümeyi ele alalım.Bu kümeye Y adını verirsek , Y kendini içermeyen kümelerin kümesidir.
yani Y deki elemanlar kendini eleman olarak içermezler.Matematiksel olarak Y’nin tanımı şöyle verilir:

Y = { Z(eleman)X | Z(elemanı değil)Z }

Yani her Z için,
Z(eleman)Y <=> Z(eleman)X ve Z(elemanı değil)Z
önermesi doğrudur.Eğer Z’nin bir küme olduğu biliniyorsa sağdaki Z(eleman)X koşulu kaldırılabilir. Demek ki her Z kümesi için

Z(eleman)Y <=> Z(eleman değil)Z
önermesi doğrudur.Burada Z yerine Y alalım,Y bir küme olduğundan buna hakkımız var .

Y(eleman)Y <=> Y(eleman değil)Y
önermesini elde ederiz.Bu bariz bir çelişkidir.

işte Russell paradoksu!!!

Matematik yerine işi edebiyata dökmek gerekirse ; kendisini eleman olarak kabul etmeyen kümelerin kümesi kendisini eleman olarak kabul eder mi ? eğer küme kendi elemanı değil ise tanımdan dolayı kendi elemanı olması gerekir , diğer taraftan kendi elemanı ise kendisinin elemanı olmaması gerekir.

Russell paradoksu olarak da bilinen Russell’ın bu katkısı Frege’nin mantıkçı sistemini yıksa da kendisinin yeni bir mantıkçılığı savunmasını ve bu alanın en değerli yapıtlarından olan Matematiğin İlkeleleri eserini (The Principles Mathematics, 1903) yayınlamasını engellememiştir. Ardından Cambridgeli matematikçi ve Felsefeci A. N. Whitehead ile birlikte kaleme aldıkları Principia Mathematica ‘da (1910 1913; 3 cilt) ise Russell ve Whitehead Frege ‘nin sisteminin düştüğü çelişkiye düşmeyen bir sistem ortaya koymaya çalıştılar.Bu kitapta bütün matematiği basit bir mantığa indirgemeyi amaçlarlar. Fakat daha sonraki yıllarda Gödel , Russell ve Whitehead ‘ın yazdığı bu kitabın ilk cildinde bulunan teorilerin yanlış olduğunu ispat etmesiyle kitabın diğer ciltleri matematikte bir edebi eser olmaktan öteye gidememiş.

Tekrar Russell paradoksuna dönmek gerekirse ;Russell paradoksu aslında antik yunanlılara ait olduğu bilinen ve bazı filozoflar tarafından Epimenides paradoksu olarak anılan bir paradoksun küme kuramına yansımasıdır.Ayrıca Russell paradoksu , Russell’dan bağımsız olarak Zermelo tarafından da aynı tarihlerde bulunmuştur.1908′de yayınlanan bir yazısına Zermelo şöyle bir dipnot düşmüş ;”Bu paradoksu ben de Russell’dan bağımsız olarak bulmuş ve 1903′te aralarında Profesör Hilbert’in de aralarında bulunduğu birkaç matematikçiye bildirmiştim.” demiş.

Sonuç olarak;Bu yapıları ele aldığımızda tam bir mantıksal doğruluk değeri elde edemiyoruz.Ele aldığımız yapılar ne doğrudur ne de yanlış.Bunların anlamsız kelime oyunları olduklarını ciddiyetten uzak olduklarını söylemek mümkün .Oysa Gödel Russell’ın hayret verici bir keşif yaptığını söyler ve bizim matematiksel veya mantıksal sezgilerimiz birbirleriyle uyuşturulamaz! demekten de kendini alı koyamaz…Gödel Russell’ın söylediklerinin büyük bir şaka olduğunu düşünmek yerine Russell’ı çok ciddiye aldı , daha sonra çalışmalarını bu paradokslara dayayarak çok farklı görüşler ileri sürdü.

Gödel bu işe şöyle koyulmuş ; Eğer biz temel sayı kuramında yada aritmetikte “Bu cümle ispatlanamaz ! ” bu şekilde cümle yazabilirsek ve bu cümle ispatlanabilirse cümlenin yanlış olduğu ortaya çıkar.Yani biz yanlış sonuçları ispatlamış oluruz.Diğer taraftan eğer böyle bir cümle ispatlanamazsa ve bu cümle ispatlanamaz olduğunu söylüyor bu durumda bu cümle doğrudur ve biz doğruluğunu bildiğimiz bu cümleyi matematiksel olarak ispat edemiyoruz.O halde matematik eksiktir.

Geometriyi bir dizi aksiyoma indirgeyen David Hilbert , integralli denklemlere ilişkin çalışmaları ile de fonksiyonel analizin 20.yy daki gelişmesine öncülük etmiştir.Cisim kavramı ve Cebirsel sayılar cismi kuramını ortaya koymuştur.1899′da yayınlanan Geometrini Temelleri adlı eserinde Euklidesçi geometriyi bir aksiyomlar sistemi olarak ortaya koymuştur.Kitabın kısa zaman içerisinde ünlü olması , geometrinin aksiyomatik olarak ele alınışın bir dönüm noktası olmasından kaynaklanmaktadır.

Hilbert Cantorun küme kuramı ve Russell’ın paradokslarıyla ortaya çıkan krizden kurtulmak için matematiğin artık belirli temellere oturtulması gerektiğini düşündü.Hilbert matematiğin mantığa indirgenerek değil , simgesel bir aksiyomatik yapıya dönüştürülerek temelledirilmesi görüşündedir.Mantıkçılık matematiği mantığa indirgeyerek temellendirmeyi savunurken David Hilbert’in öncülüğünde oluşan formalizm matematiği kendi içinde yeniden düzenleyerek temellendirmeyi öngörmüştür.
Formalizme göre matematik; soyut nesne ve ilişkileri konu alan simgesel bir sistemdir.Sistemi oluşturan tümceler ise anlamsız bir simge , ilişkileri konu alan tümceler ise içeriksiz bir önermeler topluluğudur.Tabi ki matematiğe içeriksiz bir formel oyun gözüyle bakmak matematikçilerin pek te kolay benimseyebilecekleri birşey değildir.
David Hilbert matematiği simgesel bir aksiyomatik yapıya dönüştürerek temellendirmeye çalışırken proğramını şu şekilde belirlemiştir :

1) aritmetik, analiz, geometri gibi alanlarıyla birlikte tüm matematiği aksiyomatikleştirmek;
2) her alanda oluşturulan aksiyomatik dizgenin ‘tutarli’ bir teori oldugunu ispatlamak;
3) tutarlılığı ispatlanan teorinin ‘tamlılığını’ yani oluşturulan her önermenin, dizgenin öncül aksiyomlarından çıkarılabilirliğini. göstermek;
4) tutarlılığı ve tamlığı ispatlanan teorinin tüm modellerinin bire-bir ilişki içinde olduğunu belirlemek.

Hilbert bu programıyla; Bir şeyin doğruluğunu açık , net kılacak,bütün matematiksel gerçekliği kapsayacak kurallar üzerinde anlaşıp matematiğin tümü için geçerli olacak bir biçimsel aksiyomatik sistem oluşturmayı amaçladı.Tabi ki Hilbert herşeyden önce aksiyomatik yöntemin önemini vurgular.Fakat tek başına aksiyomatik yöntem yeterli değildir.Bunun yanında sembolik mantığı kullanması gerektiğini söyler.(sembolik mantık;matematikte önermeleri ve bu önermeler arasındaki ilişkileri inceleyen yöntemlerin bütünü)Sembolik mantığı kullanarak kusursuz görünen akıl yürütmeler sonucunda sıkıntıya düşmeyecektik.Hilbert ayrıca yapay bir dil oluşturup o dilin bütün kurallarına hakim olup herşeyi tamamen net kılma düşüncesine sahipti.Ayrıca bu dil sayesinde oluşturacağı sistemde paradoksların oluşmasına imkan vermeyecekti.

Hilbert’in oluşturmayı amaçladığı mükemmel aksiyomatik sistem bütün matematik için geçerli olacaktı.Bu sistemde kurallar çok katı olacaktı.
Öyle ki bir matematikçi bir ispata sahipse bu mükemmel aksiyomatik sistem sonucunda ortaya çıkan bir mekanik hakem veya prosedür olacak ve “bu ispat kurallara uyar.” veya “3. satırın sonucu zannedilen 4. satır aslında sonuç değildir.”denebilcekti.Hilbertin ana düşüncesi tabi ki matematiği ve matematikçileri mekanikleştirmek değildi.

Hilbert’in söylemeye çalıştığı şey ;eğer matematik gerçekten nesnel ise ve öznel elemanlar yok ise matematiksel bir ispat ya doğru ya yanlış ise , o durumda bunu belirlemek için kesin kurallar olamalı ve siz bütün boşlukları doldurduysanız , eğer hiç birşey dışarıda kalmadıysa, bir ispat otomatik olarak kontrol edilebilmeliydi.

Hilbert bunu yapabileceğine inanıyordu.Böylece bütün matematiği biçimselleştirecek ve bizde biçimselliğin oyunun kuralları olduğunu kabul edecektik ve artık matematiksel gerçekliğin çok çeşitleri değil tek bir versiyonu olacaktı.

1931 yılında Kurt Gödel bunun tamamen mantıksız olduğunu ve asla yapılamayacağını gösterdiği zaman David Hilbert hayatının en mutsuz ve kabus dolu günlerini yaşadı.
Şimdi bu bahsettiğimiz 3 matematikçinin çalışmalarında bir şekilde karşımıza çıkan Kurt Gödel’i ele alalım

28 nisan 1906 tarihinde Avusturya Macaristan imparatorluğunun Brünn şehrinde doğmuştur. Hayatı boyunca içine kapanık bir kişiliğe sahip olan Gödel küçükken ateşli romatizma geçirir, aslında hastalıktan tamamen kurtulmasına rağmen bu hastalık sonucu daimi kalp rahatsızlığı olduğuna inanır.Hayatı boyunca sağlık sorunlarıyla boğuşur .Gödel’in eşi iki defa kalp krizi geçirip ve bakımevine konduktan sonra Gödel’de depresyon ve paranoya belirtileri görülür. Yemeklerine zehir konabileceğini düşündüğü için, kendini açlığa mahkûm eder. Sonunda hastanelik olur ,resmi ölüm belgesindeki kayıtlara göre, “kötü beslenme ve gıdasızlıktan kaynaklanan zayıflık”tan ölür

Kurt Gödel mantıkçı , matematikçi ve matematik felsefecisidir.Kendi ismiyle anılan eksiklik teoremleri ile ün kazanmıştır.20.yüzyıldaki hiçbir matematik teoremi Gödel’in eksiklik teoremi kadar ilgi çekmemiştir.1931 yılında yayınlanan bu çalışmalar o kadar ünlüdür ki Gödel’in 1931 yılından sonra yaptığı çalışmalar,1931′in gölgesinde kalmış.

Şimdi Gödel’in böylesine meşhur olmasını sağlayan eksiklik teoremlerine değinelim.
Gödel 1928 yılından itibaren matematiksel mantık üzerine yoğunlaşmaya başlar.Russell ve Hilbertin çalışmalarını okur.Gödel 1929 yılında Hilbert’in çalışmalarının devamı olarak eksiksizlik üzerine doktora tezini sunar.Gödel Hilbert’in çalışmalarını devam ettirirken kendisini dünyaca ünlü kılacak beklenmedik bir sonuç keşfeder.Eksiklik teoremi olarak bilinecek bu keşfi 1931 yılında basılır

Gödelin daha sonra ifade edeceği gibi bu eksiklik sonucu aslında 1922 de Skolemin yaptığı çalışmaların çok açık bir sonucudur.Fakat o devrin epistemolojik ve felsefi önyargıları Skolem ve Hilbert ile birlikte diğer matematikçilerin bu sonucu görmesini engellemiştir.Gödel kendi platonculuğu ile eksiklik teoremlerinin ilişkili olduğunu idda etmiştir.

Bu teoremler, yarım yüzyıl süren ve Frege ‘nin çalışmalarıyla başlayan,Russell’ın yazdığı Principia Mathematica ve Hilbert’in formalizmi ile doruğa ulaşan, tüm matematik için yeterli bir aksiyomlar kümesi bulma çalışmalarını sona erdirdi. Eksiklik teoremleri aynı zamanda tüm matematiksel soruların hesaplanabilir olmadığını da gösterdi.

Eksiklik Teoremleri
Belirli bir miktarda aritmetiğin uygulanabildiği herhangi biçimsel sistem eksiktir ; yani tutarlı bir sistem içerisinde öyle bir önerme ortaya konulabilir ki ne bu önerme ne de bu önermenin olumsuzu bu sistem içerisinde ispatlanamaz.Bu sonuçtaki eksiklikten kasıt karar verilemezliktir ; tutarlı bir sistemin aksiyomlarıyla bir ifadenin karar verilemez veya çözümsüz olması o sistemi eksik kılar.

Şimdiye kadar elde ettiğimiz sonuç birinci eksiklik teoremi olarak bilinir.Gödel’in elde ettiği eksiklik teoremine göre , Principia Mathematica ve Peona aksiyom sistemi ile elde edilen bir sistemin tutarlılık ispatı sistem içinde formel olarak verilemez. Buradaki formellikten kasıt Hilbertçi tarzdır.Aslında ikinci teorem birinci teoremin bir sonucudur.Şöyle ki: Karar verilemez aritmetiksel önermelerin olduğu eksik bir sistemde ,o sistemin tutarlılığına ilişkin bir önerme bahsi geçen karar verilemez önermelerden biridir.yani eldeki sistemin tutarlılığına ilişkin bir ispat öyle mantıksal çıkarım yollarıyla elde edilebilir ki bu yollar o sistem içinde formelleştirilemezler.Gödel bazı matematiksel hakikatlerin bizden bağımsız olarak varolduğunu ve kendi eksiklik teoremine de bu düşünce yardımıyla vardığını iddia ediyor.Gödel’e göre ; Mevcut formel matematiksel sistemlerimiz eksiktir çünkü matematiksel hakikat bu sistemlerin elde edebildiğinden çok daha geniştir.

Özetle Kurt Gödel’e göre aksiyomatik sistem “olası “doğruluk sunar.Öyle ki Gödel kimi matematiksel problemlerin uzun yıllar çözülemediği olgusunu aksiyomların yetersizliğine bağlar , yani farklı aksiyomlar bulunursa bu soruda muhtemelen çözülecekti.Gödel bunu söyleyerek matematiğin o mutlak
net ,mükemmel kesinliğine gölge düşürmek istemedi.Yani aslında Gödelin derdi matematiğin mutlaklığına meydan okumak değil, fakat matematiğin mutlak olması demek matematikçilerin bu mutlak doğruları elde edebileceği veya hatasız oldukları anlamına gelmez.Gödel aslında biçimsel aksiyomatik sistemlerin sınırlarını işaret eder , yani biçimsel aksiyomatik sistem matematiksel doğruluğu garantileyen bir yöntemdir , Fakat Gödelin gösterdiği gibi bu yöntemin bir diyeti vardır.Bu diyette sezgisel veya informel (biçimsel olmayan) olarak elde edilen kimi matematiksel hakikatelerin formelleştirme sonucunda anlamını yitirmesidir.

Gödel’in sonuçlari ortaya atilmadan önce, Bertrand Russell, bütün matematigin tutarli oldugunu; yani çeliski içermedigini kanitlamak için çok ugrastıgını, David Hilbert’in ise, aritmetigin tutarli ve her problemin çözülebilir olduguna inancını ve bunu ispat edebileceğini düşündüğünü anlattık. Dolayisiyla Tutarsizlik Ilkesi’nin ortaya çikisinin, onlarla birlikte bir çok matematikçiyi hayal kirikligina ugrattigi bir gerçektir. Ancak, bilmemiz gereken baska bir gerçek de sudur: Bir matematiksel sistemde, aksiyomlardan hareket edilerek mantik kurallariyla elde edilen bütün teoremler doğrudur.Yani Gödel’in kararsizlik ilkesi, ispati var olan teoremleri inkâr etmemizi gerektirmez.O ilke, sistemin bütünü içindir. Bir benzetme yapmak gerekirse, evrenin yapisini bilmiyoruz diye dünya hakkinda bildiklerimizden vazgeçemeyiz.

Nazlı Doğan

KAYNAKÇA
Yararlanılan Makaleler
Matematiğin Temelleri Üzerine Uyuşmazlık Yüzyılı GREGORY J. CHAİTİN
Bir Matematik Filozofu Olarak Kurt Gödel BEKİR S. GÜR
Guenon Ve Matematiksel Sonsuz BEKİR S. GÜR
Matematiğin De Sınırları Var HAKAN PARLAK
Matematiğin İmkansızlıkları TÜBİTAK
Limit Ve Alef Sayıları İle Sonsuzluğu Kavramak
(http://www.genbilim.com/content/view/4505/37/)
Russell Paradoksu ALİ NESİN
Matematik Ve Sanat TİMUR KARAÇAY

Yararlanılan İnternet Siteleri Ve İnternet Linkleri
Wikipedia http://www.wikipedia.org/
Tübitak www.tubitak.gov.tr
Genbilim www.genbilim.com
http://www.felsefe.gen.tr
http://www.edebiyatsozluk.com/sozluk.php?process=word&q=formalizm