Şimdiye kadar ki seminerlerimizde hep matematiğin o buhranlı dönemleri olan 19. yyın sonu 20. yy. ın başında yapılan çalışmalardan bahsedilmişti.Bu seminerimizde ben bir farklılık yaparak sizlere matematiğin mutlak doğru görülerek;tanrı bilgisiyle aynı kategoriye konulduğu 17. yy. matematikçilerinden Leibniz’ı anlatarak başlamak istiyorum.Daha sonra ise matematik felsefesinde önemli bir yere sahip olan ve seminerlerimizin vazgeçilmezi haline gelen Gödel’in matematik felsefesine bakışını ele alacağım. Son olarak da 20.yy ın önemli düşünürlerinden ve dil bilimcilerinden Wittgenstein’i ve onun matematiğe yönelttiği hayli ilginç düşüncelerini ve bu düşüncelerinin paralelinde Gödel’e yaptığı eleştirileri ele alarak seminerimizi sonlandıracağım.
“Ben de o kadar fikir var ki, eğer benden daha iyi görmesini bilenler bir gün onları derinleştirecek ve benim zihin emeğime kendi kafalarının güzelliğini katacak olurlarsa, sonraları belki bir işe yarayabilir” diyen Gottfried Wilhelm Leibniz, 1 Temmuz 1646 günü Leibzig’de doğdu.Bilim dünyasının en önemli sistemci düşünürlerinden biri olan Leibniz 14 yaşndan 21 yaşına kadar hukuk ve felsefe eğitimi gördü.Zamanının filozofları olan Kepler, Galile ve Descartes’ın keşfettikleri yeni dünya hakkında bilgiler edindi. Sonuçta, matematik öğrenmeden bu ilimleri kavramının olanaksız olduğu kanaatine vardı. 1663 yılının yazını Jena Üniversitesinde matematik derslerini izleyerek geçirdi. Matematik, Leibniz’in parlak zekasının fışkırdığı bir sahadır. Bundan başka, hukuk, din, siyaset, tarih, edebiyat, mantık, metafizik ve kuramsal felsefe konularında sayısız eser bırakmıştır. Bundan dolayı kendisine evrensel deha denmektedir.Onun evrensel bir deha oluşunun bir başka göstergesi de diferansiyel ve integral hesaptaki sürekliliği, olasılıklar kuramında ise süreksizliği analize sokmasındadır.

Leibniz hangi koşullarda olursa olsun,durmadan okurdu, yazardı ve düşünürdü. Matematik çalışmalarının çoğunu da kendisini çağıran aristokratlara giderken çağın o kötü yollarında kötü arabalar içinde sallana sallana giderken yazmıştır. Bu çalışmalarının tümü bugün Hannover kütüphanesinde bulunmaktadır. Bu eserler ve fikirler o kadar çoktur ki, yayınlanmış veya yayınlanmamış fikirlerin yalnız bir tek kafadan çıktığına bile inanmak zordur. Bu kadar eseri düşünüp yazan kafa frenelog ve anatomistlerin dikkatini çekmiştir. Bir söylentiye göre, Leibniz’in kafasını mezardan çıkarıp ölçmüşler, incelemişler ve normal bir adamın kafasından pek küçük olduğunu görmüşlerdir.Bu kadar küçük kafalı olup da sürekli okuyan, düşünen ve yazan bir kimse dünyaya az gelmiştir.
Konumuz Leibniz’ın matematik felsefesi olduğundan ana hatlarıyla da olsa onun matematiğe katkılarına değinmeden geçmek istemiyorum.Leibniz, matematik ve mantık alanında çağının iki yüzyıl ilerisindeydi ve önemli çalışmalara imza atmıştı.Süreklilik ve süreksizlik ya da analitik veya olasılıklar gibi matematik düşüncenin iki karşıt alanında fikir yürütmüş bir kimseye ne Leibniz’den önce ve ne de Leibniz’den sonra matematik tarihinde rastgelinememiştir.Bu dahi matematikçi ve filozofun matematiğe yaptığı katkıları sıralayacak olursak;
1675 yılında Newton’dan bağımsız olarak Calculus’un temel teoremini(yani diferansiyel analizle integral analiz birbirinin tersi olduğunu) keşfetmiştir.
Diferansiyelin geometrik yorumunu vermiştir.
Sonsuz küçükler hesabını billurlaştırmıştır
Matematiksel anlamda ilk kez fonksiyon terimini kullamıştır.
Cramer’den 50 yıl önce determinant kavramını kullanmıştır.
Determinantları kullanarak lineer denklem sistemlerini çözmek için pek çok farklı yaklaşımlar geliştirmiştir.
Olasılık teorisi ile ilgili çalışmalar yapmıştır.
21 Kasım 1676 da “òf(x)dx” sembolünü ilk olarak bir makalesinde kullanmıştır
Bugünkü diferansiyel ve integral hesap sembollerimiz ile terimlerimiz Leibniz’den gelmektedir.


İlginçtir ki bunca önemli çalışmaya imza atan Leibniz matematiği neredeyse kendi başına öğrenmiştir.

Leibniz bir değil birçok hayat yaşamıştır. Sadece diplomatik alanda yaptığı işler, bir insanın hayatını doldurmaya yeter. Şüphesiz, bu çok yönlü yaşamın sonu gelmedi. Eğer onun eğildiği her konuda verdiği eserleri toplayacak büyük adamlar olsaydı, bugünkü ilim ve özellikle matematik tarihi bambaşka olurdu.

Yaşamı boyunca binden fazla bilim adamı ve devlet adamıyla yazışan Leibniz’ın acıdır ki 70 yaşında öldüğünde görevliler dışında cenazesinde sadece bir kişi vardı: asistan Eckhart ve Eckhart daha sonra yazdığı anılarda cenazeyi şu sözlerle anlatmıştır:”ülkesinin şerefini temsil eden bu adam, bir dilenci gibi toprağa verildi”

Leibniz’ın felsefi görüşlerine değinecek olursak;
Leibniz !7. yy filozoflarından ve matematikçilerindendendir.Bu yüzyılda genel olarak teoloji ve felsefe etkin olup;matematik güvenilir ve kesin bilginin mükemmel örneği olarak görülür.Bu yy ın filozofları ve matematikçileri dine adanmışlıkları ile bilinirler ve matematiksel bilgi ile tanrı bilgisi arasında doğrudan ilişkiler kurarlar.Öyle ki bu yy ın önemli düşünürlerinden olan aynı zamanda modern felsefenin birçok yönden modern matematiğin ve matematiksel fiziğin babası olarak bilinen Descartes Tanrı düşüncesi ve kesinliği ile matematiksel düşünce ve kesinliği aynı kategoriye koyar hatta bazen o matematik dahil tüm kesin bilginin kaynağının tanrı düşüncesi olduğunu bile savunur.Bu dönemde matematiksel doğruların besin kaynağı yaratanın varlığına olan inanıştır. Onun düzenini disipline edilmiş bir sistem içinde açıklama amaçtır.

Leibniz’ın da matematiğe ve Tanrı’ya bakış açısı pek farklı değildir.Onun için matematik bu dünya ile ötelerin ötesi dünya arasında bir köprü; tanrı da kusursuz bir matematikçidir.Ayrıca ona göre yaratılışın temelinde de “kutsal matematik” ve “metafizik” vardır.
Doğal olarak Leibniz’in matematiğe yaklaşımının onun teolojik ve metafizik/felsefi görüşlerinden bağımsız olduğu düşünülemez..O; hristiyan misyonerliğini savunan biri olarak çalışmalarının arka planlarında sürekli Tanrı’nın varlığını ve yaratılıştaki mükemmelliği gözler önüne sermeyi amaçlar.Seminerimizin bu bölümünde de Leibniz’ın bu düşünceler öncülüğünde matematik felsefesi ile alakalı olarak ortaya attığı iki çalışmadan bahsedeceğim.

Bunlardan ilki ” Characteristica Universalis” tir.
Leibniz, siyasi veya felsefi tartışma ve araştırmaların matematiksel bir yöntem izlemediğinin bilincindedir. Leibniz’e göre, matematikçilerin de hata yapma ihtimali vardır ama bu hataları keşfetmeye yarayacak araçları da vardır; bu araçlardan yoksun felsefeciler ise daha fazla hata yapabilirler. Felsefede Aristocular veya Platoncular olduğu halde, matematikte Öklitçiler veya Arşimetçiler yoktur . Leibniz’e göre doğruluktan ziyade hislerin egemen olduğu fikir kavgalarının son bulması için düşüncenin matematikselleştirilmesi gerekmektedir.Düşüncenin önemli bir kısmını biçimselleştirmek için, matematikte karşımıza çıkan türden simgeler ve kurallar gereklidir. Leibniz’in Evrensel Bir Karakteristiğe Önsöz başlıklı yazısında açıkladığı gibi, characteristica universalis sayesinde düşüncemizin alfabesi ortaya çıkacak, temel kavramların analizi yapılacaktır ve bunlara dayanarak bütün her şey hesapsal olarak kesin bir şekilde yargılanacaktır. Böylece iki farklı görüşü savunan filozofların çatışmalarına gerek kalmayacaktır; yanyana oturup calculemus yani “buyrun hesaplayalım” diyerek düşüncelerinin doğruluğunu hesaplayabileceklerdir.

” Characteristica Universalis” nedir? sorusuna gelince;
Bu bir tür hesapsal formülleştirmedir. Bu düşünce, temel veya indirgenmez düşüncelerle asal sayıları eşleştirmeye dayanıyordu. Yani her temel düşünceyi nitelendiren bir sayı olacaktı: karakteristik sayı Leibniz’in Karakteristik Sayılara Örnekler başlıklı yazısında verdiği bir örneği aktaralım ;“İnsan, düşünen canlıdır” önermesindeki “düşünen” ve “canlı” temel kavramlarına sırasıyla (13,-5) ve (8,7) sayı çiftlerini verelim, o zaman “insan” kavramını nitelendiren yani onun karakteristiği olan sayı (13·8,–5·7) yani (104, –35) olacaktır. Bu fikre göre, sonsuz sayıda birbirine asal sayı olduğundan, bütün temel veya indirgenemez kavramlara karşılık gelen bir sayı veya bir sayı çifti veya bir sayı üçlüsü atanabilir;böylece, diğer bileşik kavramlar asal sayıların çarpımı olarak elde edilebilir ve bütün bir dil haritalanabilir.

Aslında bu çalışmasının arkasında bile Leibniz’ın metafiziksel ve teolojik fikirleri yatmaktadır.Şöyle ki Leibniz için “characteristica universalis” yöntemi, Tanrı’ya inanmayanlara hakikati göstermek için en emin yoldur çünkü ona bu yöntem “bir terazi gibi” her şeyin doğruluk değerini ölçecek ve gösterecektir.Yani, misyonerlerin Hristiyan olmayanlara bu hesapsal yöntemle doğruları göstermeleri,onları hristiyanlığa yöneltmeye yetecektir.

Ayrıca Leibniz’in, characteristica universalis için sayıları kullanmasının da metafiziksel bir temeli vardır. Leibniz, Platon tarafından da dile getirilmiş olan “Tanrı her şeyi bir ölçüye, sayıya ve ağırlığa göre yarattı” inancına eğilir ve şöyle düşünür:
Bazı nesnelerin ağırlığı yoktur, dolayısıyla ağırlıkları hesaplanamaz;bazı nesnelerin ise boyutları yoktur,dolayısıyla boyları ölçülemez, fakat sayılamayacak bir şey yoktur.Özetle, Leibniz’e göre sayı her şeyin özüdür.
Sayıya bu denli önem veren filozof ve matematikçimizin şimdi de ikili sayı sistemleriyle ilgili düşüncelerine yer verelim:

.İkili sayı sistemi Leibniz’den önce de biliniyordu, fakat Leibniz bunu ilk defa sistematik ve olgun bir şekilde kayda geçirmiştir.Leibniz bir mektubunda her şeyin yokluktan yaratılması konusu ile ikili sayı sistemi konusunu birlikte ele almıştır. Bu, Leibniz’te, teolojiyle matematiğin iç içe girdiğinin bir örneğidir.

Leibniz, yaratılış ve ikili sistem üstüne metal bir madalya tasarlamıştır. Madalya şu ifadeleri taşıyacaktır:
Imago creationis (Yaratılışın sureti),
Omnibus ex nihilo ducendis sufficit unum (Her şeyi yoktan türetmek için birlik yeterlidir)
Unum est necessarium (Bir, zorunludur).

Her şeyin aslının veya özünün sayı olduğunu iddia eden Leibniz, ikili sayı sistemini sadece aritmetiksel bir mesele olarak görmez.Bilindiği üzere ikili sayı sisteminde bütün sayılar 0 ve 1 kullanılarak ifade edilebilir. 0’ı “yokluk”, 1’i ise “Tanrı” olarak yorumlayan Leibniz, böylece, ikili sayı sisteminin yaratılışı simgelediğini, dolayısıyla bu sistemde her şeyin ifade edilebileceğini iddia etmiştir.Leibniz için, her şey 0 ile 1’in karışımıdır.Burada,Leibniz’in Yeni-Eflatuncu ve sayısal gizemci öğretileri izlediği ifade edilmelidir; buna göre, her şey Bir’den yani Tanrı’dan sudûr etmiştir(taşmıştır) .Ayrıca Leibniz için, ikili sayı sistemi, Tanrı’nın yaratılışındaki güzellik ve mükemmelliği gözler önüne serer.Yani, ikili sistemde herhangi bir sayı tekil olarak gözümüze güzel görünmeyebilir ama altalta yazıldığında genel sistem içindeki düzenden dolayı güzelliği görünür. Benzer şekilde, dünyada tekil olarak hoşumuza gitmeyen şeyler olabilir, ama doğru perspektifi yakaladığımızda her şeyin mükemmel olduğunu görürüz.

Sonuç olarak;
Leibniz’in göz kamaştırıcı characteristica universalis program hiçbir zaman gerçekleştirilmemiştir.David Hilbert, Leibniz’in bu düşüncesinin formelmatematiksel bir biçimini savunmuş ve buna göre bir program önermiştir. Leibniz’e hayran olan Kurt Gödel, Eksiklik Teoremi’ni ispatlayarak characteristica universalis türü programların sadece felsefe için değil matematik için bile başarısız olmaya mahkûm olduğunu göstermiştir.

Leibniz’in metafiziğini ve teolojisini kısmen matematiksel bir düşünceye dayandırması ciddi sorunları beraberinde getirmiştir. Leibniz,bir anlamda, her şeyi hesaplamaya indirgemiştir.Örneğin, Tanrı’yı matematiksel soruları çözen bir hesapçıya indirgemiştir. Paradoksal görünebilir ama açıktır ki, böyle bir Tanrı’nın matematiksel olarak çözümü olmayan meseleler hakkında söz hakkı yoktur. Leibniz kimi yerlerde sonsuz işlemleri Tanrı’nın dahi yapamayacağını söylemiştir. Tanrıyı,Leibniz’in anladığı türden matematikçi kılınca, bu tür bir matematikçinin aciz olduğu noktalarda Tanrı dahi bir anlamda aciz kılınmıştır. Leibniz için örneğin, Tanrı, sonsuz işlemleri yapamıyor ama sonucu görebiliyor (tıpkı matematikçinin limit hesapları yaparken tek tek sonsuz işlemi yapmaması ama o sonsuz işlemlerin sonucunu hesaplayabilmesi gibi).Görüldüğü üzere Leibniz’in bütün düşüncelerinde matematik önemli bir yer işgal eder. Ona göre matematikçi filozof olmalıdır, tıpkı filozofun matematikçi olması gerektiği gibi. Dahası, Leibniz’e göre, matematik yeni icatlar yapma sanatı olan mantığa çok yakındır ve metafizik de bu sanattan çok farklı değildir.

Şimdi de Leibniz’in hayranı olan ;son zamanlarını onun çalışmalarını inceleyerek geçiren ve hatta Leibniz’ın çalışmalarının bir kısmının çalındığını bile iddia edecek kadar Leibniz takıntısı olan Kurt Gödel’e geçelim .
Şimdiye kadar hayatından, teoremlerinden ayrıntılı bir biçimde bahsedilen Gödel’in ben de matematik felsefesine bakışını ele almaya çalışacağım.Ancak öncelikle isterseniz “Gödel kimdir? Onu meşhur eden ünlü teoremi nedir?” kısaca anımsayalım:
Kurt Gödel, 1906 yılında Avusturya-Macaristan İmparatorluğu’nun Brünn şehrinde doğmuş, 1948’de de Amerikan vatandaşlığına geçmiş matematikçi ve mantıkçıdır. .Matematiksel ve mantıksal teoremleriyle felsefeyi ve düşün dünyasını Einstein çapında etkilemiş kişilerden biridir.10 yaşındayken matematiği öğrenmeye başlayan Gödel ; küçük yaşta her şeyi sorguladığından ailesi içinde Der Herr Warum (”Bay Neden”) olarak anılırdı.

1924 yılında Viyana Üniversitesine fizik çalışma düşüncesiyle gelen Gödel; aldığı matematik ve felsefe tarihi derslerinden etkilenerek 1926 yılında matematik bölümüne geçer 1928 yılından itibaren de matematiksel mantık üzerine yoğunlaşmaya başlar.1929 yılında, Hilbert’in çalışmalarının devamı olarak, eksiksizlik üzerine doktora tezini sunar. Bu tez sayesinde, Viyana Üniversitesi’nde matematik alanında doktorasını 1930 yılında tamamlar. Gödel, 1931 yılında Hilbert’in çalışmalarını devam ettirirken, kendisini dünyaca ünlü kılacak ve bundan sonra yaptığı tüm çalışmaları gölgede bırakacak olan beklenmedik bir sonuç keşfeder.”: Eksiklik teoremleri” .

Eksiklik teoremlerine göre;
1. Matematigin çeliskisiz oldugu kanıtlanamaz.
2.Dogal sayılarla, toplamayla ve çarpmayla ilgili öyle bir önerme vardır ki,aritmetik kuramının kabul edilen belitleriyle ne bu önerme ne de bu önermenin olumsuzu
kanıtlanabilir.
3.Toplama ve çarpmayla ilgili önermelerden hangilerinin dogal sayılarda dogru olduguna karar verebilecek bir bilgisayar yazılımı yapılamaz.

Bu teorem ile daha önce de bahsettiğimiz gibi Leibniz’in “characteristica universalis” ; David Hilbert’inmatematiği biçimselleştirme çalışmalarının sadece bir hayal olabileceği gösterilmiş olur.
Daha sonraları Gödel Princeton’da kendisinden 27 yaş daha büyük olan Einstein’la tanışır ve yakın dostluk kurar.İlgi alanı matematikten felsefeye ve fiziğe kayar.. 1940′lı yıllarda Gödel seçim aksiyomu ve süreklilik hipotezi üzerine çalışmalarını yapar, bir süre fizikle ilgilenir ve zamanla ciddi anlamda felsefeye yönelir. 1944 yılında yayınladığı “Russell’ın matematiksel mantığı”, Gödel’in felsefeye dönüşünü işaretler. Fizik konusunda, Einstein’ın kozmoloji kuramları ve zamanda yolculuk üzerine incelemeler yapar. 1951’de Einstein Ödülü’nü alır ve Julien Schwinger’la birlikte bu ödülü alan ilk kişidir.1958 yılından sonra, eski çalışmalarını yeniden gözden geçirmekle ve felsefeyle meşgul olur. Gödel, çok eskiden beri sürdürdüğü Kant ve Leibniz incelemelerini sürdürür ve özellikle 1959′dan sonra Husserl’in felsefesine yoğunlaşır.

Gödel, çekingen ve içine kapanıktı. Eksantrik bir kişiliği vardı.Örneğin yaz ortasında kışlık giysilerle dolaşırdı. Buzdolabı gazıyla zehirlenebileceğine inanır, yaz kış demeden evinde kapı pencere açık otururdu. Hortlaklara inanırdı. Ayrıca sık sık hastalanan,sağlıksız biriydi, ancak doktorların tavsiyesine uymaz,hatta dediklerinin tam tersini uygulardı.Son yıllarında zehirleneceği paranoyasına kapılarak hiçbir şey yememeye başlayan Gödel; bunun sonucunda beslenme eksikliğinden dolayı 14 Ocak 1978′de ölü olarak bulunduğunda cenin pozisyonunda ve sadece 29.5 kilo ağırlığındaydı.

Şimdi de Gödel’in felsefi görüşlerini ele alalım:

Gödel’in felsefi görüşlerini anlayabilmek için öncelikle platonculuğu veya realizmi kısaca anımsayalım:
Realizm’ e göre soyut nesneler somut nesneler gibi nesnel gerçekliğin bir parçasıdır. Fiziksel dünyanın var olması gibi, matematik de insan düşüncesinden bağımsız olarak vardır.Platonistler matematiksel nesneleri, bizim kurduğumuz şeyler olarak değil ezeli ve ebedi olarak ideal ve zamandan bağımsız var olan şeyler olarak kabul ederler.Yani onlara göre biz matematiksel nesneleri yaratmayız yalnızca zaten orada olanı keşfederiz.

Platonculuktan ayrılan modern realizmde sayı, bir tür “gözlem”le doğada bulduğumuz, varlığı bizden bağımsız bir nesnedir. Ünlü matematikçi ve filozof Bertrand Russell realist döneminde bu görüşü açık bir dille ortaya koymuştur: “Aritmetik, Colomb’un Amerika’yı keşfi anlamında bir keşiftir. O nasıl Kızılderilileri yaratmadıysa, biz de sayıları yaratmış değiliz… Bir şey var olduğu için düşünülebilir; var olma düşünülmüş olmanın sonucu değil, ön-koşuludur” demektedir.
Matematikte realizmi paylaşanlar arasında G. H. Hardy de vardır. Hardy, Platon’dan günümüze değin pek çok ünlü filozofla paylaştığını söylediği görüşünü şöyle belirtmektedir: “Benim için ve sanırım çoğu matematikçiler için, ‘matematiksel gerçek’ diye tanımlayacağım başka bir gerçek vardır… Benim inancıma göre, Matematiksel gerçeklik bizim dışımızdadır; bizim işlevimiz onu bulup çıkarmak ya da gözlemektir; İspatladığımızı veya tumturaklı sözlerle(övünerek) yarattığımızı söylediğimiz teoremler; gözlemlerimizden çıkardığımız sonuçlardan ibarettir. ”

Gödel de ilk geniş felsefî değerlendirmesi olan, 1944 yılında yazdığı “Russell’ın matematiksel mantığı” başlıklı ünlü yazısında, platonculuğu veya realizmi açıkça savunur.O , matematiksel hakikatlerin bizden bağımsız olarak var olduğunu ve kendi eksiklik teoremine de bu düşüncesi yardımıyla vardığını iddia eder. Ona göre mevcut formel matematiksel sistemlerimiz eksiktir çünkü matematiksel hakikat bu sistemlerin elde edebildiğinden çok daha geniştir.

Ayrıca Gödel, kimi matematiksel problemlerin uzun yıllardır çözülemediği olgusunu aksiyomların yetersizliğine bağlar; yani ona göre farklı aksiyomlar bulunursa, bu sorular muhtemelen çözülecektir.Gödel,bu görüşünü “Cantor’un Süreklilik Hipotezi Nedir?” başlıklı yazısında genişçe ele alır. Aksiyomatik sistemimizde karar verilemez olan Cantor’un Süreklilik Hipotezi(doğal sayıların kümesinden büyük reel sayıların kümesinden küçük bir sonsuz küme yoktur) üzerine felsefi düşüncelerini yazar.Hatırlatmak gerekirse Cantor doğal sayıların sonsuzluğunun reel sayıların sonsuzluğundan küçük olduğunu ispatlamış ve hemen akabinde de o meşhur süreklilik hipotezini ortaya atmıştı.Hipotez şöyle der: “Doğal sayılar kümesinden büyük reel sayılar kümesinden küçük arada bir sonsuz küme yoktur.” Gödel tarafından çürütülemeyeceği ; Paul Cohen tarafından da doğrulanamayacağı ispatlanan bu teorem mevcut aksiyomatik sistemiz içinde karar verilemezdir.

Gödel’e göre bu karar verilemezlik hipotezi anlamsız kılmaz.Gödel,makalesinde bu sorunun karar-verilemez oluşunun eldeki sisteme göre değişen bir şey olduğuna dikkat çekerek, platonculuğunu konuşturur ve süreklilik hipotezinin mevcut hipotezlerle karar-verilemez oluşunun sadece eldeki mevcut aksiyomların yetersiz oluşunu gösterdiğini belirtir..Dolayısıyla, yapılması gereken şey, eldeki “anlamlı” soruyu çözebilecek daha güçlü yeni aksiyom sistemlerini araştırmaktır. Gödel, böyle bir sistem bulunduğunda (süreklilik hipotezinin kabulünün topolojide pek makul olmayan sonuçlar doğurması gibi matematiksel nedenlerden dolayı) süreklilik hipotezinin çürütüleceğine inandığını söyler.

Süreklilik hipotezinin bir “anlamı” olduğunu kabul edelim, yeni aksiyomatik sistemleri nasıl bulacağız ve daha önemlisi bulduğumuz sistemin aradığımız “o” sistem olduğundan nasıl emin olacağız? Gödel şöyle der: Aksiyomların “doğruluğu hakkında olası bir karar diğer bir yolla elde edilebilir yani tümevarımsal olarak ‘başarı’sı üzerinde çalışarak elde edilebilir. Burada başarı, sonuçlardaki, özellikle de ‘doğrulanabilir’ sonuçlardaki verimliliktir” . Gödel’in bu iddiasına göre, elde edeceğimiz aksiyom sistemlerinden hangisi en iyi sonuçlar verirse, onu kullanacağız. Gödel bu şekilde kurulan bir teoremin, en azından, iyi-kurulmuş bir fiziksel kuramla aynı anlamı taşıdığına inanır. Gödel, aksiyomların matematik yanında fizikteki yararlılıklarına da bakılabileceğini söyler. Burada ilginç olan şey, Gödel’in önerdiği bu yaklaşımın, deneysel bir ölçütü matematiğin temellerine oturtmasıdır.Gödel’in işaretlediği matematiksel ve fiziksel üretkenliklerine göre aksiyomları seçme yöntemi, hiç kuşku yok ki, matematiğin mutlak doğru oluşuna gölge düşüren bir şeydir. Gödel gibi bir platoncunun bunu savunmasını şöyle anlayabiliriz: Gödel’in derdi matematiğin mutlaklığına meydan okumak değildir; fakat matematiğin mutlak olması demek matematikçilerin bu mutlak doğruları elde edebileceği veya hatasız oldukları anlamına gelmez. Gödel, bildiğimiz formel aksiyomatik sistemlerin sınırlarına işaret ederek, bizim dışımızdaki nesnel varlık ve anlamları sezgilerimizle görebileceğimizi ifade ediyordu.

Gödel, matematiğin nesnelerinin varlığının gerekçelendirilmesi ve realizm ile aksiyomlar hususundaki görüşlerini 1930′lu ve 1940′lı yıllarda olgunlaştırmış; 1959 yılından sonra ise Husserl’in çalışmalarına eğilmiştir.
Husserl matematikçi olarak eğitim almış ve bu alanda doktora yapmıştı. Doktora sonrası, kısa bir süre ünlü matematikçi Weirstrass’ın asistanlığını yapmış, Brentano’nun felsefe derslerine katılmış, daha sonra aritmetik ve mantık felsefesi üzerine araştırmalarını derinleştirmiştir. İlerleyen yıllarda fenomenolojisini geliştirmiştir

Gödel’in matematik felsefesine yönelik düşünceleri ile Husserl in fenomenolojisi bir çok yönden benzerlik göstermektedir.Şöyle ki;
Gödel’in matematik nesnelerinin varlığı ile fiziğin nesnelerinin varlığı arasında yaptığı benzerlik, Husserl’in fenomenolojisi izlenerek de görülebilir., Gödel, matematiksel nesnelerinin var olduğunu “dayatan” matematiksel sezgiye güvenmemiz gerektiğini doğrudan söylemiyor, matematiksel sezgiye, fiziksel nesnelerin var olduğunu söyleyen duyu algısı kadar güvenmemiz gerektiğini söylüyor. Benzer şekilde, matematiksel nesnelerin özelliklerinin nesnel olduğunu doğrudan söylemiyor, onların fiziksel nesneler kadar nesnel olduğunu söylüyor. Bu, Gödel’i Husserl’e yakınlaştırıyor çünkü Husserl de “idealist” devresinde hem fiziksel nesnelerin hem de matematiksel nesnelerin nesnel olduğunu iddia ediyor Husserl’e göre, matematiksel nesneleri tecrübe etmek ile fiziksel nesneleri tecrübe etmek arasında ilkesel bir fark yoktur .Dahası, fenomenolojiye göre, biz bir nesneyi bütün olarak algılamayız, onu kısmen algılarız. Örneğin, karşımızda duran bir masanın görmediğimiz bir tarafı vardır. Bundan dolayı, nesne hakkındaki bilgimiz eksiktir ve nesnenin kendisi bizim tecrübemizi aşkındır. Husserl’e göre, hem soyut hem de somut nesneler tecrübemizi aşkındır. Matematiksel ve fiziksel nesnelerin varlığına ilişkin bir soruşturmada, her iki durumda da, esas olan şey, nesnelerin varlığı için kanıtlarımız ve teyit prosedürlerimizin olup olmadığıdır Sayılar ile kümelerin ve geometrinin nesnelerinin kavramları, fiziğin kavramları gibi zamanla tortulaşmış ve yaşam dünyamıza katılmışlardır.

Gödel’i Husserl’in fenomenolojisine yakınlaştıran şey, belki de, özellikle Kant’tan beri filozofları meşgul eden, realizm ve idealizm arasındaki ilişkidir. Husserl’in algı fenomenolojisi analizlerine göre, algısal nesneleri biz yaratmıyoruz veya inşa etmiyoruz, fakat biz bu nesneler hakkındaki bilgilerimizi inşa ediyoruz Gödel de daha önce değindiğimiz üzere, matematiksel bilginin bizim dışımızda olduğunu düşünüyor fakat aksiyomatik sistem inşa etmekle o bilgileri olası da olsa elde edebileceğimizi söylüyordu. Gödel ile Husserl arasındaki başka bir benzerlik, her ikisinin de kanıtın derece derece olduğunu ve dolayısıyla bizim nesneler hakkındaki tecrübelerimizin yanıltıcı olabileceğini düşünmeleridir.Buna göre, matematikçinin elde ettiği matematiksel bilgi pekâlâ yanılabilirdir. Sonsuz kümelerin nesneleri ile aritmetiğin basit nesneleri hakkındaki kanıtlarımız arasında bir derece farkı olabilir.

“Felsefe Işığında Matematiğin Temellerindeki Modern Gelişme” başlıklı yazısında Gödel Husserl’in adını açıkça anar ve fenomenolojiden övgüyle söz eder.Gödel bu makalesinde dünya görüşlerini metafizikten veya dinden uzaklıklarına göre bir cetvel üzerine yerleştirir. En solda, yani metafizikten en uzakta, şüphecilik, materyalizm ve pozitivizm yer alır; en sağda ise, sipirütüalizm, idealizm ve teoloji yer alır. Materyalizme göre her şey anlamsızdır, ölüm mutlak yok oluştur; teolojiye göre ise her şeyin bir anlamı vardır. Gödel, felsefenin Rönesans’dan beri sağdan sola doğru kaydığını belirtir. Gödel yazısını, matematiğin a priori doğası gereği sağda olması ile felsefede sola doğru gerçekleşen hareketlenme arasında doğan gerilim üzerine odaklar.

Gödel’e göre, matematik uzun bir süre felsefede gerçekleşen hareketlenmeden etkilenmedi ta ki 20. asrın başında matematikte ortaya çıkan çelişkilere kadar. Gödel’e göre, bu çelişki ve paradokslar şüpheci ve ampirisistler tarafından matematikte sol bir başkaldırı için abartılmıştır. Gödel’e göre, bu paradokslar matematiğin merkezinde değil matematiğin felsefeye doğru kenarlarında ortaya çıkmıştır ve zaten paradokslar daha sonra çözülmüştür. Buna rağmen, matematikçiler bu sol dalgaya kendilerini öyle bir kaptırdılar ki matematiğin, eskiden beri anlaşıldığı gibi, bir doğruluk sistemi olduğunu inkâr ettiler. Bu inkâr, matematiği tecrübî bir bilime dönüştürdü. Buna göre, elde ettiğimiz bir teoremi ispat ettiğimiz halde, teoremi çürüten bir karşı-örnek bulma ihtimalimiz vardı çünkü elimizdeki aksiyomlar tutarsız olabilirdi. Gödel’e göre, “bu nihilist sonuçlara” karşı matematik cephesinden Hilbert’in öncülüğünde bir akım ile, hem zamanın felsefî ruhuna hem de geleneksel matematiğin ruhuna uygun bir arayış başladı. Hilbert, zamanın sol ruhuna uygun olarak, matematiğin hipotetik bir doğruluk değerini kabul etti yani o da sezgi, metafizik ve hakikati inkâr etti. Öte yandan, Hilbert, matematikçilerin geleneksel sağ ruhuna uygun olarak, ispatın tutarlı bir temele dayandırılabileceğini ve her sorunun bir cevabı olduğunu iddia etti. Fakat Gödel’e göre, matematiğin sağa yakın ruhunun sola yakın bir felsefe ile kurtarılamayacağı ortaya çıkmıştır; doğru tutum, hakikatin ortada bir yerde olduğunu veya sağ ile solun bir birleşiminden oluştuğunu kabul etmektir. Hilbert bunu yapmaya çalıştı ama başarısız oldu. Gödel, fenomenolojiyi böyle bir “orta yol” olarak ortaya atar. Gödel’e göre, yapılması gereken şey, matematiksel kavram, nesne ve aksiyomların, tanımlarını vermeksizin, anlamlarını netleştirmektir. Gödel’e göre, fenomenolojiyi kullanarak, matematiksel kavramları kullandığımız zamanlardaki eylemlerimize dikkatimizi çevirerek, bu kavramların anlamlarını netleştirmeliyiz. Fenomenoloji sayesinde şimdiye kadar bizim için meçhul olan temel kavramları kavrayabiliriz.

Gödel ömrünün son yıllarına doğru da Leibniz’ın çalışmalarını okumakla geçirir ve sonunda onu izinden giderek Tanrı’nın varlığının ontolojik ispatını vermeyi başarır.Öyle ki ünlü mantıkçı Solovay, 1985’te yaplan bir toplantıda, Gödel’den “therefore G exists” yani “demek ki G vardır” sözleriyle biten mektuplar aldığını söylemiştir. Buradaki G, tabii ki ingilizce Tanrı demek olan God’ın ilk harfidir,ancak G, ayrıca Gödel’in de ilk harfidir!

Son olarak da Gödel’i es geçen filozof Wittgenstein’i ele alalım:

Ludwig Josef Johann Wittgenstein, (d. 26 Nisan 1889 – ö. 29 Nisan 1951). Avusturya doğumlu filozoftur.Mantık ve dil felsefesi konularında yaptığı çalışmalarla modern felsefeye önemli katkılarda bulunmuştur. 20. yüzyılın en önemli filozoflarından sayılır.Ölümünden sonra, defterlerinden, makalelerinden ve ders notlarından seçilmiş birçok yazısı yayınlanmış olmasına rağmen, hayatı boyunca yayınladığı tek kitap, 1921′de Cambridge’de Bertrand Russell’ın gözetimi altında bir öğrenciyken yayınlanan Tractatus Logico-Philosophicus isimli eserdir. Bertrand Russell bu kitabın birinci baskısına yazdığı girişinde kitaptan şu şekilde bahseder“… Hiçbir noktada görünüşte hatalı olmayan bir mantık teorisi kurmak olganüstü ve zor bir iş yapmak anlamına gelir . Sayın Wittgenstein’ın kitabı şahsi görüşüme göre bu liyakate sahiptir. Bunun için hiçbir ciddi filozof onu ihmal edemez” Wittgenstein , doktorasını tamamlamasını sağlayan Tractatus ‘un yayınlanmasıyla felsefenin bütün problemlerini çözdüğüne inanır, çalışmalarını bırakıp ilkokul öğretmenliği, bir manastırda bahçıvanlık ve kızkardeşinin Viyana’daki evinin mimarlığı gibi çeşitli işlerle ilgilenir. Buna mukabil, 1929′da, Cambridge’e dönerek bir öğretim görevi üstlenir ve önceki çalışmalarını gözden geçirir.. Zirvesine, ölümünden sonra yayınlanan ikinci eseri Felsefî Soruşturmalar’da ulaşan Wittgenstein yeni bir felsefî yöntem ve lisan anlayışı geliştirmiştir.Tıbben, otizmin bir türü olan asperger teşhisiyle değerlendirilen düşünür, Avrupanın sayılı zenginlerinden biri olmasına rağmen bu şaşaalı hayata yüz çevirmiş ve yoksunluğu,yalnızlığı ve çileyi seçmiştir.

İkinci dünya savaşı yıllarında Wittgenstein kendini tamamen yüksek humaniter fikirlere adamıştır. İngiltere üzerindeki faşist bombardımanlar döneminde o, Londra’da gönüllü bir hasta bakıcısıdır. Daha sonra New Castle’da bir tıbbi laboratuarda çalışır. Savaş zamanındaki dehşetler, belki de, onun yaşama yönelik değerlerinin derecesini temelden değiştirir. 1947 yılında Cambridge’deki profesörlük kariyerinden vazgeçip İrlanda Cumhuriyetine gider. Ölümünden önceki son yıllarında ABD, İngiltere, Avusturya ve Norveç’e yolculuklar yapar. Günlerini arkadaşlarıyla buluşmakla ve “Felsefi Araştırmalar” üzerine çalışarak geçirir. 1951 yılında Londra’da ölür.
Wittgenstein’in matematiğe bakışı bir hayli ilginçtir.Hatırlayacak olursanız matematik felsefesinin ekolleri konulu seminerlerimizde başlıca 4 ekol ele alınmıştı..Bunlar biçimcilik,sezgicilik,mantıkçılık ve platonculuk idi.Ancak bütün bu matematik felsefesi ekolleri dışında, Wittgenstein’nın matematiğin temelleri üstüne düşüncelerinde sergilenen bir başka matematik anlayışı vardır. Bu anlayışa göre, matematiksel nesnelerin varlığını temellendirmek adına birtakım metafizik arayışlar içine girmek son derece yersizdir. Matematik önermeleri anlamlarını, yani doğru ya da yanlış olma niteliklerini matematik dilinin içindeki uzlaşımlardan alırlar.Wittgenstein’ın savunduğu bu uzlaşımcı matematik felsefesine göre matematik öteki dil oyunları içinde ne daha üstün ne daha aşağı bir yerde olmayan bir dil oyunudur.Ayrıca bu düşünce matematiğin bütün bilgi dalları için örnek bir bilgi araştırması alanı olarak görülmesini de doğru bulmaz. Matematiğin tarihte hep önemli bir etkinlik olarak görülmesini de iki etkene bağlar.
Bunlar:
1) matematiğin insanın oyun oynama sevgisini bir başka alana göre çok daha doyurucu bir biçimde karşılaması ve
2) matematiğin gündelik yaşamda pratik yararlar sağlamasıdır.
Matematiği bir dil olarak gören Wittgenstein; matematik ve mantığın bir çok matematikçi ve filozofun iddia ettiği gibi iç içe değil aksine karşı karşıya olduklarını savunur.Aynı zamanda Wittgenstein için, felsefe ve matematiğin birbirine sunacağı hiçbir şey yoktur; hiçbir matematiksel sonuç, felsefî bir şey sunmaz . Ona göre, felsefî bir problem felsefi yollarla çözülebilir. Buna bağlı olarak, Wittgenstein Gödel ve Hilbert’i eleştirir.Ona göre, Gödel’in eksiklik teoremi esasında matematik olduğu için matematiğin temellerine dair bir şey sunamaz. Dolayısıyla Gödel’in sonucunun hiçbir epistemolojik değeri yoktur ve platoncu yorumlarının hiçbir anlamı yoktur. Zaten, Wittgenstein için, matematikte anlam diye bir şey yoktur, her şey bir algoritmadır . Matematik bir calculus’tur yani hesaptır. Kimi kuralların birleşiminden ibaret olduğu için matematik içinde epistemolojik veya ontolojik sorunlar olamaz. Matematik aslında hiçbir şey hakkında değildir. Matematik tamamen hesap olduğu için metamatematik diye bir şey olamaz. Metamatematik denen şey başka bir çeşit matematiktir ve bundan dolayı da metamatematik matematiğin temelleri hakkında hiçbir şey sunmaz . Yani kısacası Wittgenstein için matematik kâğıt üzerinde anlamsız sembollerle oynanan bir oyundan başka bir şey değildir.. Böylece, Wittgenstein, hem Hilbert hem de Gödel’in iddialarını reddetmiş olur.

Gödel öğrenci iken toplantılarına katıldığı Viyana Çevresinden Wittgenstein’ı sık sık duymaktaydı. Gödel hem Viyana Çevresinin metafiziği dışlamasına hem de, benzer şekilde, Wittgenstein’ın matematikten anlam ve hakikati dışlamasına sıcak bakmıyordu. Öte yandan, her ne kadar Gödel’in sonuçlarına tekrar tekrar dönse de Wittgenstein, “amacım Gödel’in ispatı hakkında konuşmak değil, onu atlamaktır [es geçmektir]” demiştir
Wittgenstein’in Gödel’e yönelik olumsuz bu yorumları dolayısıyla bir çok eleştiri alır bunlardan birkaçı şöyledir:
Michael Dummett Wittgenstein’ın Gödel hakkındaki yorumları için “düşük kaliteli” ve “kesin yanlışlar içermektedir” demektedir. Georg Kreisel ise, Wittgenstein’ın Gödel hakkındaki yorumları için “parlak bir zekânın şaşırtıcı derecede önemsiz bir ürünü” der .Wittgenstein’ın Gödel’i yanlış anladığı iddia edilse de Shanker’e göre, Wittgenstein’ın yorumları yanlış anlamadan veya bilmeden kaynaklanmamaktadır.
Sebep her ne olursa olsun Wittgenstein’in matematik ve Gödel üzerine yaptığı eleştiriler matematik dünyasında pek de kabul görmese gerek…

Tuğba Yıldırım

KAYNAKÇA
Makaleler
Bir Matematik Filozofu Olarak Kurt Gödel / Bekir S.Gür
Leibniz’ın Matematik(sel) Düşüncesi / Bekir S.Gür
Matematiksel Nesnelerin Temeli Üzerine Felsefi Kuramlar / Mehmet Giyas SAKAR
Descartes’in Matematik Felsefesi / Bekir S.Gür
Matematiksel Doğruluk Üzerine / Ünal Ufuktepe
Hilbert’in Programları ve Gödel’in Teoremleri / Ali Nesin

İnternet siteleri
www.felsefeekibi.com
tr.wikipedia.org
www.istanbul.edu.tr