1) GİRİŞ
2) MATEMATİK NEDİR ?
3) TARİHÇE
4) MATEMATİK FELSEFESİ BAŞLANGIÇ
5) SONUÇ



1.GİRİŞ
“Matematik Felsefesi Üzerine” adı altında yapacağımız bu seminerdeki öncelikli amaçlarımız,
matematiğin ne ifade ettiğini sorgulamak, matematiğin başlangıcından bu yana gelişimini kavramak
ve bu süreçte karşımıza çıkan sorunlar bağlamında ortaya atılan matematik felsefesi ekollerinin
anlaşılmasına yönelik bir ön hazırlık yapmaktır.



2. MATEMATİK NEDİR ?
Matematik, kimisine göre kuralları belli satranç türünden bir zeka oyunu; kimisine göre sayı
türünden soyut nesneleri konu alan bir bilim; kimisine göre bilim ve pratik yaşam için yararlı bir
hesaplama tekniği. Matematikçilerin gözünde ise matematik bizi doğruya, kesin bilgiye götüren biricik
düşünme yöntemi. Matematiği ‘bilimlerin kraliçesi’ sayanlar yanında, hizmetinde görenler de var.
Hatta onu ne olduğu, neyle uğraştığı belli olmayan, salt bir zihinsel çıkarım ya da dönüştürme işlemi
diye niteleyen, ya da karmaşık kavramsal bir labirente benzeten saygın filozoflara rastlamaktayız.
Görülüyor ki, hazır verilmiş bir tanımdan yola çıkarak matematiği anlamaya kalkmak, kişiyi daha
büyük bir (ya da birkaç) soruya yönlendirecektir. Bunun yerine bizi tanıma götürecek üç temel soruya
yanıt aramak daha faydalı olacaktır :
a) Matematiğin konusu nedir?
b) Matematiksel düşünme yöntemini nasıl niteleyebiliriz?
c) Matematikte ulaşılan sonuçların özelliği nelerdir?

İşte bu üç soruya yanıt aramak, tarih boyunca birçok bilim adamının zamanını almış, farklı tanımlar,
farklı düşünme yöntemleri ortaya çıkmıştır.
Şimdi bu üç soruya kısa yanıtlar verelim. (İleriki seminerlerimizde bu sorular daha ayrıntılı
incelenecektir.)

Matematiğin konusunu; sayı, nokta, küme gibi soyut nesneler ve bu tür nesneler arasındaki ilişkiler
oluşturmaktadır. Matematikçi bu nesnelerin özelliklerini ve aralarındaki ilişkileri ortaya çıkarma,
genelleme ve ulaştığı sonuçları ispatlama çabası içindedir.18. yüzyılda yayınlanan ‘Encyclopedie
Methodique’ adlı ünlü ansiklopedide matematik,’Büyüklüklerin sayılabilir veya ölçülebilir özelliklerini
konu alan bilim.’ şeklinde tanımlanmıştır.

Matematikte ulaşılan sonuçların niteliğini kavramanın en güzel yolu, onu diğer bilim dalları ile
kıyaslamaktır. Matematikle beraber diğer tüm araştırma alanlarında elde edilen bulgular, ulaşılan
sonuçlar önermelerle dile getirilir. Bu önermeler aynı zamanda ait oldukları alanın konusunu belirler.
Örneğin fiziğin konusunu maddesel parçacıkların kütle, devinim ve enerji gibi özellikleri, bunlar
arasındaki ilişkiler; psikolojinin konusunu insan davranışları oluşturmaktadır. Matematiği tanımlarken
de sayı, nokta, küme gibi soyut kavramlardan söz ettik. Yani her bilim alanı öncelikle inceleme
konusuyla kimlik kazanmaktadır. Örneğin fizik ve psikolojiyi ele alalım. Biri maddesel parçacıkların
kütle, devinim, vb. özelliklerini, öbürü insan davranışlarını inceleyen, birbirinden tümüyle ayrı iki bilim
dalı. Ancak ikisini de matematikten ayıran ortak bir yanları var: Olgusal içerikli olmaları. Fizik de,
psikoloji de, konu yönünden tüm farklarına karşın olgusal bilimlerdir. Oysa matematiği olgusal bir
bilim olarak niteleyemeyiz. Matematiğin uğraş konusu nesneler olgusal değil, kavramsaldır. Bunu
anlamanın basit bir yolunu verelim: Doğada bulduğumuz nesnelerle (ağaç, taş,bulut,yıldız gibi) sayıları
sayabilir miyiz? Doğada sayılar değil, sayılabilir nesneler vardır. Sayma bu tür nesneler üzerinden
yürütülen bir işlem, bir belirlemedir. Öyleyse matematiği konusu açısından empirik (olgusal) bilimlerle
değil, tanımsal ya da biçimsel (formel) bir disiplin olan mantıkla birlikte sınıflamak daha uygundur.
Matematik yöntem ve sonuçları bakımından da olgusal bilimlere değil, mantığa yakındır.
Ne var ki, empirik bir bilim olmayan matematiğin başta fizik olmak üzere empirik bilimlerle sıkı bir
ilişki içinde olduğu gözden kaçmamalıdır. İleriki seminerlerimizde değineceğimiz biçim‐içerik
türünden bir ilişki matematik ve diğer bilim dalları arasında mevcuttur. Matematiğin bilimi, bilimin
içeriği temsil ettiği söylenebilir. Başka bir deyişle bilim olgusal ilişkileri ortaya çıkarmakta, matematik
bu bulguları daha kesin ve açık dile getirmenin formül ya da kalıplarını sağlamaktadır. Kısacası bu
açıdan matematiği, Galileo’nun dediği gibi, bilimin dili sayabiliriz.
Günümüz tanınmış matematikçilerinden Kemeny’ye göre;
• Matematiksel doğruluk olgusal değil, mantıksal niteliktedir.
• Mantıksal doğruluk ise analitik niteliktedir.

Kemeny, matematiksel kesinliği önermelerinin analitik niteliğine bağlayarak şöyle demektedir:
‘Matematiksel önermelerin doğruluğunu değişik yollardan yoklamaya kalktığımızda, her
defasında,gözlem sonuçlarının gereksiz olduğunu görürüz; bu önermeleri gözlem sonuçları ne olursa
olsun hiçbir zaman yanlışlayamayız. Matematiksel önermeler, mantıksal doğrular gibi, ‘analitik a
priori’ niteliktedir.

Ancak bu noktada karşımıza şöyle bir soru çıkabilir: Matematik önermelerin (daha da genel haliyle
tüm mantıksal doğruların) gözlem sonuçlarına bağlı olmayan, a priori bilinen doğruluklarını, yalnızca
önermelerin biçimine bağlı görmek; daha da önemlisi matematiği empirik bilimlerden böylesine kesin
bir çizgiyle ayırmak doğru mudur? Bu görüşe katılmayan matematikçiler vardır, aslında daha yaygın
olarak benimsenen görüşe göre, matematiksel kesinliğin kaynağı matematiğin inceleme konusu
nesnelerin (sayı, nokta, küme, vb.) niteliğinde, bu nesnelere özgü ilişkilerin dedüktif (tümdengelim)
çıkarsamaya elverişli yapısında aranmalıdır.

Çağdaş matematikçi‐filizoflardan Karl Menger, matematiğin ne olduğu, ne olmadığı üzerindeki
görüşlere değinerek tepkisini bir dizi soruyla ortaya koymaktadır:
Matematiksel önermeler Mill ve Mach’ın söylediği gibi, empirik kökenli midir? Yoksa, aritmetik ve
geometrik önermelerin a priori yargılar olduğunu ileri süren Kant’a mı inanalım? Poincare, temel
aritmetik kuralların gerçekten a priori, geometrik önermelerin ise analitik yargılar olduğunu
söylediğinde, doğruyu mu dile getiriyordu? Tersine, aritmetiğin temel kurallarını analitik, geometrik
doğruları ise sentetik diye niteleyen Frege’ye mi hak vereceğiz? Yoksa Russell gibi tüm matematiksel
önermeleri analitik sayanları mı izleyelim? Matematiksel önermelerin doğruluğu deneyime bağlı
mıdır?…

Matematiksel kesinlik üzerindeki farklı görüşler arasındaki tartışmaya ileride daha detaylı olarak
değineceğiz. Ancak bundan önce üzerinde durmamızda yarar gördüğüm başka bir konu var.
Matematiksel kavramların tarihteki oluşumuna bir göz atalım:



3. TARİHÇE
Matematiğin insan deneyiminin bir parçası olduğu, yaşamın pratik ihtiyaçlarından doğduğu kolayca
söylenebilir. Eski uygarlıklardaki gelişmelere kısa bir bakış bu yargıyı doğrulamaya yetecektir.
Mezopotamya’da tarımsal yerleşme, onu izleyen kentleşme, yazma ve hesaplama becerilerini
gerektiren bir ticaret etkinliğine yol açmıştı. Özellikle tapınaklarda biriken servet bir tür kayıt tutmayı
gerektiriyordu. Sümerler’in bilgi ve beceri birikimini daha da zenginleştiren Babilliler’in bizim
‘aritmetik’ ve ‘cebir’ dediğimiz iki alanda önemli gelişmeler sağladıkları anlaşılmaktadır. Başka türlü,
ne ileri mühendislik gerektiren ünlü yapıtlarını ortaya koymalarına, ne de sulama, bataklık kurutma,
sel baskınlarını önleme, topraklarını verimli tarım alanlarına dönüştürüp işleme etkinliklerindeki
başarılarına olanak bulamazlardı. Buna bir de kullanışlı takvim geliştirme bilgilerini eklersek,
matematikte erişilen düzey daha iyi anlaşılır.

Mezopotamya’dakine benzer bir gelişmeye eski Mısır’da da tanık olmaktayız. Nil Nehri’nin yıllık
taşmaları sonucu arazi sınırları bozulmakta, ya da, büsbütün silinmekteydi. Suların çekilmesiyle
sınırların yeniden belirlenmesine ihtiyaç vardı. Bu ise tarım alanlarının hemen her yıl ölçülerek
dağıtılması demekti. Aslında ‘yer ölçümü’ anlamına gelen ‘geometri’ terimi de bu işlevi
yansıtmaktadır. Antik Yunan öncesi gelişmenin tümü Sümer, Babil, Mısır, Hint ve Çin gibi Doğu
kültürlerinin bir ürünüdür. Antik Yunan öncesi matematiğin belirgin özelliği, deneme‐yanılma
yöntemine bağlı, empirik bilgi düzeyinde kalan bir çalışma olmasıdır. Bu durum o dönemde
matematiğin yaşamın pratik ihtiyaçlarından doğmasının doğal bir sonucu olarak düşünülebilir.
Bugüne değin, ne Babillilerin ne de Mısırlıların ispat kavramına ulaştıklarını gösteren tarihsel bir belge
ya da kanıta rastlanmamıştır.

Yunan matematiğinin başlangıç dönemine ilişkin bilgilerimiz, Eudemus Özeti diye bilinen bir kaynağa
dayanmaktadır. İ.S. 5. yüzyılda Proclus’un yazdığı bu kitap, Aristoteles’in öğrencilerinden Eudemos
(İ.Ö. 4. yy)’un daha ayrıntılı olduğu tahmin edilen yapıtının bir özetidir. Proclus’tan kalma bu özete
göre, Yunan matematiği İ.Ö. 6. Yüzyılın ilk yarısında Miletos’lu Thales ile başlar. ‘yedi bilge’den biri
olarak ün salan Thales’in bir süre Mısır’da dolaştığı, geometriyi oradan ülkesine getirdiği Özet’te yer
alan bilgiler arasında. Özet’ten ayrıca Thales’in şu önermeleri ispatladığını öğreniyoruz.
• Daireyi herhengi bir çapı iki eşit parçaya böler.
• İkizkenar üçgenlerde taban açıları eşittir.
• Kesişen iki doğrunun oluşturduğu karşıt açılar birbirine eşittir.
• Açılardan ikisi ve kenarlarından biri birbirine eşit olan üçgenler çakışır.
• Yarım daire içine çizilen her açı dik açıdır.

Önemli olan nokta, bu tür önermeleri Thales’in bir tür gözlem olan ölçmeye başvurarak değil,
mantıksal çıkarım yoluyla ortaya koymuş olmasıdır. Denebilir ki, ispat kavramı ilk kez bu örneklerde
somut içerik kazanmıştır.

Antik Yunan’da karşımıza çıkan en önemli isimlerden biri de kuşkusuz Platon’dur. Platon’un gözünde
matematik yetkin bilginin biricik örneğidir. Ona göre, matematikle yola çıkmayan, matematiksel
kesinliği amaçlamayan bir eğitim düşünülemezdi. Ünlü Akademisi’nin giriş kapısında, ‘Geometriyi
bilmeyen içeri girmesin!’yazılıydı. Platon’un söz ettiği geometri eski Mısırlıların geometrisi değildi.
Geometriye yer ölçümü gözüyle bakmayı ilkel bir anlayış sayardı.

Gene, geometriyi, ‘düzgün olmayan şekiller üzerinde düzgün düşünme sanatı’ diye niteleyen
düşünürler az değildir. Bertrand Russell, ‘Kanımca, duyularımızı aşan ‘idealar’ dünyasına olan inanca
olduğu gibi, mutlak ve evrensel doğruluk arayan felsefeye de başlıca özenti kaynağı matematik
olmuştur’ demekle Pythagoras ve Platon geleneğinin güçlü etkisini vurgulamıştır. Antik Yunan’dan
günümüze kalan en önemli matematiksel miras ise şüphesiz Euclides geometrisi olmuştur. Modern
matematiğe geçişte Öklid’in ‘Paralel Postulatı’ diye bilinen 5. postulatının yol açtığı tedirginlik ve
çalışmalara da kısaca değinmemiz gerekir.(5.postulat:Eğer bir düz çizgi,diğer iki düz çizgiyi keserse,
öyle ki, bir kenardaki iki açının toplamı iki dik açıdan küçükse, şu halde iki düz çizgi yeterince
uzatıldığında, bu açıların olduğu ilk çizginin aynı kenarında kesişirler.)
Matematik tarihinde belki de hiçbir önerme sonuçları bakımından paralel postulatı kadar etkili
olmamıştır. Bu postulat, hem içeriği, hem de ifade biçimi yönünden daha baştan doyurucu
bulunmamış, pek çok kuşku ve tartışmaya yol açmıştır. İşte bu kuşku ve tartışmalar Öklid‐dışı
geometrilerin ortaya çıkmasına yol açarken, öte yandan, matematiğin mantıksal temellerini irdeleme
ve açıklığa kavuşturma gereğini duyurmuştur.

Öklid‐dışı geometri düşüncesine ilk ulaşan matematikçilerin Gauss ile Bolyai olduğu bilinmekle
birlikte, bu tür bir geometriyi ilk gerçekleştiren kişinin Lobachevsky olduğunu söyleyebiliriz. Öklid‐dışı
geometri denildiğinde akla gelen diğer önemli matematikçiler Beltrami, Klein, Riemann ve Poincare
dir. Alman matematikçi Bernhard Riemann’ın oluşturduğu Öklid‐dışı geometrik sistemde (Elliptik),
Öklid’in 5. postulatı ‘Bir düzlemdeki herhangi iki doğru kesişir.’ halini alır.

Yeni geometrilerin baştan ciddiye alınmaması, uzun süre kuşku konusu olarak kalması tutarlılık ve
doğruluk kaygılarından kaynaklanıyordu. Gerçi ne Bolyai ne de Lobachevsky sistemlerini oluştururken
bir tutarsızlıkla karşılaşmamışlardı. Ancak genel kaygıyı yıkmak biraz zaman aldı. Bu doğrultuda ilk
çalışmayı, İtalyan matematikçi Beltrami’ye borçluyuz. Beltrami 1868’de yayınlanan çalışmasında
Öklid‐dışı geometrilerin kendi içlerinde tutarlılığını ispatlayarak bu konudaki kuşku ve tereddütleri
giderir.

Öklid‐dışı geometrilerin saygınlık kazanmasıyla birlikte matematiksel yaklaşım ‘devrimsel’
diyebileceğimiz bir değişikliğe uğramıştır. Yeni geometrilerin önemli bir sonucu da, matematiğin
temelleri üzerinde felsefi tartışmalara yol açmış olmasıdır.



4. MATEMATİK FELSEFESİ BAŞLANGIÇ
Filozofların matematikle ilgilenmeleri Antik Yunan döneminden beri sürüp gelen bir olaydır. Platon,
geometri bilmeyeni Akademisi’ne almıyordu. Modern felsefenin kurucusu Descartes aynı zamanda
seçkin bir matematikçiydi: Analitik geometriyi en başta ona borçluyuz. Kalkülüsü oluşturan iki
bilginden biri 17. Yüzyılın tanınmış filozofu Leibniz’di (diğeri Newton’dur.)Felsefe ile matematiğin
ilişkisi, bu örneklerden de görüleceği gibi,pragmatist felsefenin kurucusu C.S.Peirce’un, ‘Metafizik
ilelebet matematiğin taklitçisi olmuştur.’yargısının tersine, salt özenti olmaktan ileri bir şeydir.
Matematiğin bunalıma girdiği kimi dönemlerde matematikçilerin de az çok felsefeye başvurduklarını
biliyoruz. Özellikle, yüzyılımızın başlarında felsefeye bu yöneliş son derece yoğun bir biçimde ortaya
çıkmıştır.

Geçen yüzyılın ikinci yarısında ortaya çıkan kimi gelişmeler, matematiğin temellerine ilişkin felsefi
ilgiyi geniş ölçüde arttırır. O dönemin sonunda matematiğin içine düştüğü bunalıma yol açan
gelişmeleri başlıca iki başlık altında toplayabiliriz:
• Öklid‐dışı geometrilerin ortaya çıkışı. Bu olay matematiğin doğruluğu zorunlu ya da apaçık
aksiyomlara dayandığı görüşünü çökertir.
• Kümeler teorisinden kaynaklanan paradokslar ve bunlara doyurucu bir çözümün
bulunamaması. Matematiğin tutarlılığına ilişkin genel bir ispatın yokluğuyla birleşen bu olay,
matematiğe duyulan geleneksel güveni temelinden sarsar.
(Poincare kümeler teorisinden kaynaklanan sıkıntıyı bir soruyla şöyle dile getirmiştir: ‘kümeler
teorisinin koyunları için yaptığımız ağıla koyunlarla birlikte bir de kurt mu kapatmış olduk, acaba?)
Her iki gelişme de, klasik matematik etkinliği dışında yeni bir arayışa, ‘felsefi çözümleme’
diyebileceğimiz bir yaklaşıma yol açacak nitelikteydi. Nitekim yüzyılımızın başlarında kimi matematikçi
filozofların, matematiğin temellerini yoklama, matematiğe daha sağlam bir temel oluşturma çabasına
girdiklerini görmekteyiz. Weirstrass’ın, kalkülüsü sayı kavramını irdeleyerek sağlam bir temele
oturtmuş olması, yeni temellendirme çalışmalarıiçin bir tür model oluşturuyordu. 19. yüzyılın son
yirmi yılında Frege ve Peano ile başlayan çalışmalar daha sonra Russell, Poincare, Hilbert ve Boruwer
gibi seçkin matematikçiler arasında yoğun tartışma konusu olmaya başlar, sonunda Mantıkçılık,
Biçimcilik, Sezgicilik ve Platonculuk diye oluşan dört temel öğretinin çatışmasına dönüşür.



5.SONUÇ
Son söz olarak; Modern Matematiksel Mantık’ın ve Analitik Felsefe’nin kurucusu sayılan ünlü Alman
matematikçi Friedrich Gottlob Frege’nin şu sözünü dile getirmek isterim:
‘ Geometri ile ilgisi olmayan bir filozof, ancak yarım bir filozoftur; felsefe ile ilgisi olmayan bir
matematikçi, ancak yarım bir matematikçidir. Bu iki disiplinin birbirine yabancılaşması, ikisinin de
zararına olmuştur.’

Araş.Gör. Duygu Özden, İstanbul Üniversitesi